只有红茶可以吗？ ——XXXX
起源
冬天果然还是热水泡红茶比较舒服啊。
但是就算是保温杯里面的茶也会很快冷下来，每次下课都要加热水。
那么问题来了
我应该喝多少茶，使得每次倒完热水之后的水温都是恒定的呢？
这种果然还是应该建个模啊～
假设
为了探究这个问题，我们不妨做以下假设：
- 将水看做一个整体，不考虑内部对流以及温度差异。
- 冷热水的热交换瞬 间 完 成。
- 热水冷却的过程符合牛顿冷却定律。
- 我以恒定的速率喝茶
是不可能的（悲）。
计算
不妨假设环境温度为 \(T_a\)。牛顿冷却定律告诉我们 \[ \dot{Q}=-k(T-T_a) \] 我们又知道： \[ \dot{Q}=cm\dot{T} \] 假设加完水时质量为 \(m_0\)，喝水速度为 \(v\)，则组合以上式子可以得到： \[ \dot{T}=-\frac{k}{c(m_0 - vt)}(T-T_a) \] 不妨设 \(T'=T-T_a\)，直接分： \[ \begin{aligned} \frac{\dot{T'}}{T'} &= -\frac{k}{c(m_0-vt)} \\ \Rightarrow \int \frac{\dot{T'}}{T'} \mathrm{d}t &= \int-\frac{k\mathrm{d}t}{c(m_0-vt)} \\ \Rightarrow \ln T'&= \frac{k}{cv}\ln(m_0 - vt) + C_1 \\ \Rightarrow T' &= C_2(m_0-vt)^{k\over cv} \\ \Rightarrow T &= T_a + C_2(m_0-vt)^{k\over cv} \end{aligned} \] 假设加完水 \(t=0\) 时 \(T=T_0\)。则求解得 \[ \begin{aligned} T_0&=T_a + C_2m_0^{\frac{k}{cv}}\\ \Rightarrow C_2 &= (T_0-T_a)m_0^{-\frac{k}{cv}}\\ \Rightarrow T&=T_a+\left(\frac{m_0-vt}{m_0}\right)^{\frac{k}{cv}}(T_0-T_a) \end{aligned} \] 假设每 \(t_f\) 时间补加一次热水，那么最终的温度 \[ T_f=T_a+\left(\frac{m_0-vt_f}{m_0}\right)^{\frac{k}{cv}}(T_0-T_a) \] 这个时候补充温度为 \(T_h\) 的热水，假设混合后的温度为 \(T_0'\)： \[ (m_0-vt_f)(T_0'-T_f)=vt_f(T_h-T_0') \] 解得 \[ T_0'= \frac{(m_0-vt_f)T_f+vt_fT_h}{m_0} \] 为了保持恒温，我们需要 \(T_0=T_0'\)，即： \[ m_0T_0=(m_0-vt_f)\left[T_a+\left(\frac{m_0-vt_f}{m_0}\right)^{\frac{k}{cv}}(T_0-T_a)\right]+vt_fT_h \] 接下来只要解出 \(v\) 就行了！
可惜这个形式似乎没有初等的解析解（悲）Mathematica 跑死机了都没跑出来。
注：根据 arXiv:math/9411224 以及 arXiv:1406.1948v2，或许可以使用超几何函数或者无穷根式求出方程的解，然而依然没有什么卵用。
但是通过一些直觉可以得出 \(T_0'\) 一定是随着 \(v\) 增加递增的，所以如果有现实数据的话直接二分或者牛顿迭代就行了。
Whatever，感觉还是挺有意思的，如果之后自己真的找时间测到了参数的现实值，大概会算一下吧。