数学课划水整活之Wallis乘积公式的一种证明

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今天数学课讲了一点组合数的性质，因为太简单了所以稍微划了一会水。

结果发现自己整出来了一个算\pi的式子？

化简以后发现是传说中的Wallis公式？

虽然原理一样的证明Wiki上有提到但是还是当场惊了。

简单记一笔吧。

一切的开端是今年寒假做夏校申请的时候证明过的一个极限

\lim_{n\to\infty} 2^{-2n}\binom{2n}{n} = 0
当时是用斯特林近似暴力代换进行证明（现在看来并不严谨）
\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \binom{2n}{n} \frac{\left[\sqrt{2\pi n} \left(n \over e\right)^n \right]^2} {\sqrt{4\pi n} \left(2n \over e\right)^{2n}} &= \lim_{n\to\infty} \left[\frac{\sqrt{2\pi n} \left(n \over e\right)^n}{n!}\right]^2 \frac{(2n)!}{\sqrt{4\pi n} \left(2n \over e\right)^{2n}} \\ &= 1 \\ \Rightarrow \lim_{n\to\infty} 2^{-2n}\binom{2n}{n} &= \lim_{n\to\infty} 2^{-2n}\frac {\sqrt{4\pi n} \left(2n \over e\right)^{2n}}{\left[\sqrt{2\pi n} \left(n \over e\right)^n\right]^2} \cdot \lim_{n\to\infty} \binom{2n}{n} \frac{\left[\sqrt{2\pi n} \left(n \over e\right)^n\right]^2} {\sqrt{4\pi n} \left(2n \over e\right)^{2n}} \\ &= \lim_{n\to\infty} 2^{-2n}\frac {\sqrt{4\pi} 2^{2n}n^{2n+\frac{1}{2}}e^{-2n}}{2\pi n^{2n+1}e^{-2n}} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\\ &= 0 \end{aligned}
今天划水的时候发现由以上过程，这个极限可以加强为
\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{\pi n}\binom{2n}{n}}{2^{2n}} = 1
稍作整理即得
\lim_{n\to\infty} \frac{2^{4n}}{n\binom{2n}{n}^2} = \pi
拿卡西欧摁了一下，发现式子没有假，虽然收敛得有亿点点慢但确实是收敛到了\pi。

关键是这个式子我似乎没见过啊？内心直接膨胀，可把我牛逼坏了。

因为形式看起来较复杂，接着我就想可不可以通过邻项作比的方式变换一下形态

\begin{aligned} \frac{2^{4n}}{n\binom{2n}{n}^2} \Bigg / \frac{2^{4(n-1)}}{(n-1)\binom{2n-2}{n-1}^2} &= \frac{16(n-1)}{n} \left[\binom{2n-2}{n-1} \bigg/ \binom{2n}{n}\right]^2 \\ &= \frac{16(n-1)}{n} \left[\frac{n^2}{2n(2n-1)}\right]^2 \\ &= \frac{16n(n-1)}{(4n-2)^2} \\ &= \frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n-2}{2n-1} \end{aligned}
这个形式似曾相识，结合上式把式子化为连乘积的形式，要素察觉！
\begin{aligned} \frac{2^{4n}}{n\binom{2n}{n}^2} &= \frac{2^{4}}{1\binom{2}{1}^2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdots \frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n-1} \\ &= 4\cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdots \frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n-1} \end{aligned}
这不就是Wallis乘积公式嘛？翻出Wikipedia一看：
\begin{aligned} \frac{\pi}{2} &=\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4 n^{2}}{4 n^{2}-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n}{2 n-1} \cdot \frac{2 n}{2 n+1}\right) \\ &=\left(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot\left(\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\right) \cdot\left(\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\right) \cdot\left(\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\right) \cdots \end{aligned}
完全一致，直接得证。

哇，也就是说我划着水就把Wallis公式不严谨地整了一遍？

果然还是要膨胀.jpg

以前觉得这个式子很高端的，现在有种莫名的幻灭感。

但是写到这的时候多看了一眼，发现斯特林逼近的一个推导里用到了Wallis公式？

突然有点不确定这算不算是循环论证了。