VEX 393 马达电流模型

Posted on 2018-12-15 Views:

电路图

绿色箭头为PWM开段电流方向，红色为闭段电流方向。

模型

符号定义

符号	含义
$f_{\text{pwm}} \approx 1250\text{Hz}$	PWM频率
$t_{\text{pwm}} \approx 1 / f_{\text{pwm}}$	PWM周期
$t_{\text{on}}$	PWM高电位时间
$t_{\text{off}}$	PWM低电位时间
	电流（随时间变化）
	PWM周期开始时的电流
$I_{\text{max}}$	PWM峰值电流
$I_{\text{final}}$	PWM周期结束时的电流
$U_\text{b} \approx 7.4\text V$	电池电压
$U_\text{bemf}$	反电动势
$U_\text L$	电感电压
$U_\text D \approx 0.75 \text V$	二极管压降
$L \approx 6.5\times 10^{-4}\text H$	电感
$R \approx 1.609\Omega$	马达内阻
$R_\text s \approx 0.28\Omega$	系统内阻

部分参数可以自行测定，测定方法见文末。

开段分析

首先，由基尔霍夫定律和欧姆定律，可得：

$U_\text b - I(t)(R+R_\text s) - U_\text L - U_\text {bemf} = 0$

对上式进行整理，并结合电感电压公式：

$U_\text b = L\frac{dI(t)}{dt} + I(t)(R + R_\text s) + U_\text {bemf}$

我们把它看做一个关于

的线性微分方程，初始条件为

解得：

$I(t) = e^{-\frac{t(R + R_\text s)}{L}} \left( I_0 - \frac{U_\text b - U_\text {bemf}}{R + R_\text s}\right) + \frac{U_\text b - U_\text {bemf}}{R + R_\text s}$

我们知道电流在高电压段逐步变大，因此 $I_\text{max} = I(t_\text{on})$ ，即：

$I_\text{max} = e^{-\frac{t_\text{on}(R + R_\text s)}{L}} \left( I_0 - \frac{U_\text b - U_\text {bemf}}{R + R_\text s}\right) + \frac{U_\text b - U_\text {bemf}}{R + R_\text s}$

出于简化式子的需要，令

$\begin{aligned} c_\text{on} &= -\frac{t_\text{on}(R + R_\text s)}{L} \\ e_\text{on} &= e^{c_\text{on}} = e^{-\frac{t_\text{on}(R + R_\text s)}{L}} \\ I_\text{on} &= \frac{U_\text b - U_\text {bemf}}{R + R_\text s} \end{aligned}$

注意到 $I_\text{on}$ 为 $\frac{dI(t)}{dt} \to 0$ 时的电流，因此也称作稳态电流。

整理得到：

$I_\text{max} = e_\text{on}I_0 + (1 - e_\text{on})I_\text{on}$

为了之后平均电流的计算需要我们顺便计算一波

的积分：

$\int^{t_\text{on}}_0 I(t)dt = t_\text{on}\left(I_\text{on} - \frac{(1 - e_\text{on})(I_0 - I_\text{on})}{c_\text{on}}\right)$

闭段分析

再次由基尔霍夫定律及欧姆定律，有：

$I(t)R + U_\text L + U_\text {bemf} + U_\text D = 0$

同样整理：

$I(t)R + L \frac{dI(t)}{dt}+ U_\text {bemf} + U_\text D = 0$

以初始条件 $I(0) = I_\text{max}$ 求解这个微分方程解得：

$I(t) = e^{-\frac{tR}{L}}\left(I_\text{max} + \frac{U_\text {bemf} + U_\text D}{R}\right) - \frac{U_\text {bemf} + U_\text D}{R}$

类似地：

$I_\text{final} = e^{-\frac{t_\text{off}R}{L}}\left(I_\text{max} + \frac{U_\text {bemf} + U_\text D}{R}\right) - \frac{U_\text {bemf} + U_\text D}{R}$

我们也令：

$\begin{aligned} c_\text{off} &= -\frac{t_\text{off}R}{L}\\ e_\text{off} &= e^{c_\text{off}} = e^{-\frac{t_\text{off}R}{L}} \\ I_\text{off} &= - \frac{U_\text {bemf} + U_\text D}{R} \end{aligned}$

可见 $I_\text{off}$ 也是 $\frac{dI(t)}{dt} \to 0$ 时的电流，也是稳态电流。

整理得到：

$I_\text{final} = e_\text{off}I_\text{max} + (1 - e_\text{off})I_\text{off}$

为了后文计算平均电流的需要，我们也计算积分：

$\int^{t_\text{off}}_0 I(t)dt = t_\text{off}\left(I_\text{off} - \frac{(1 - e_\text{off})(I_\text{max} - I_\text{off})}{c_\text{off}}\right)$

注意到以上式子都依赖于 $t_\text{on}$ 和 $t_\text{off}$ ，前者就是占空比乘以PWM总周期长度，而后者则有些棘手，因为 $t_\text{off} = t_\text{pwm} - t_\text{on}$ 并不总是成立。

接下来的分析有两种情况：

连续电流：PWM周期中的电流是连续的，即 $I_0 = I_\text{final}$ 。
不连续电流：电流在PWM闭段下降至被二极管截断，即 $I_0 = I_\text{final} = 0$ 。

两种情况需要分类讨论。

连续电流

由 $I_0 = I_\text{final}$ ，将 $I_\text{final}$ 展开：

$I_0 = I_\text{final} = e_\text{off}(e_\text{on}I_0 + (1 - e_\text{on})I_\text{on}) + (1 - e_\text{off})I_\text{off}$

解出

：

$I_0 = \frac{e_\text{off}(I_\text{off} + (e_\text{on} - 1)I_\text{on}) - I_\text{off}}{e_\text{off}e_\text{on} - 1}$

不连续电流

这个时候我们知道 $I_0 = I_\text{final} = 0$ ，由 $I_\text{final}$ 的计算式我们可以反解出 $t_\text{off}$ ：

$t_\text{off} = -\frac{L}{R}\ln\left(-\frac{I_\text{off}}{I_\text{max} - I_\text{off}}\right)$

从实现上来说，我们先假定 $t_\text{off} = t_\text{pwm} - t_\text{on}$ （即假设没有二极管），计算出 $I_\text{final}$ ，检查它的正负性，来判断电流是否被截断。

平均电流计算

最后，我们结合计算出来的$ t_, t_$，以及开闭段计算出来的两个积分，我们终于可以计算PWM过程中的平均电流：

$\overline{I} = f_\text{pwm}\left(t_\text{on}\left(I_\text{on} - \frac{(1 - e_\text{on})(I_0 - I_\text{on})}{c_\text{on}}\right) + t_\text{off}\left(I_\text{off} - \frac{(1 - e_\text{off})(I_\text{max} - I_\text{off})}{c_\text{off}}\right)\right)$

这也是我们模型计算的最终结果。

在实际的实现当中需要考虑更多的细节，比如说转速的方向，命令的方向等等……并不总是如以上的公式那么简单，是一项艰苦的体力劳动，具体可以参考In The Zone下的model.c。

逆向计算

很多时候我们不仅需要计算马达一定情况下的电流，更需要计算马达在某一状态下为了达到某一指定电流（扭矩）所需要的指令大小。例如：

计算空载情况下马达到达某一速度所需要的指令值（精确的马达线性化）
把PID的输出看做目标扭矩使用模型再反解出指令。

针对这个需求，因为马达曲线直观上总是单调的，因此理论上你总可以根据数学反推推出一个公式，但是由于模型当中牵涉到了分类讨论（电流的连续性），因此较为复杂。利用马达曲线的单调性，二分不失为一个更好的做法。由于指令的范围不大，我们至多只需要二分七八次即可。

注意：模型的计算在Cortex上还是较为耗时间的，实际当中根据当前电压计算一次完整的马达曲线需要4秒左右，优化常数，提高模型计算的效率一直是一个大问题，这也是为什么在实际应用中也许tanh线性化等计算更快的线性化的方法会更好的原因。

结果

这是真实的速度-指令曲线（空载）：

这是使用模型计算的速度-指令曲线：

两者几乎一致，说明建模正确。

参数测定

马达内阻

使用伏安法，我们首先需要测量出马达在127命令下堵转电流 $I_\text{stall}$ ，127命令是为了尽可能消除电感的影响（即PWM全开），堵转是为了避免电能转化为机械能消耗掉，则根据开段分析当中的

$U_\text b - I(t)(R+R_\text s) - U_\text L - U_\text {bemf} = 0$

此时 $U_\text L = U_\text{bemf} = 0, I(t) = I_\text{stall}$ ，可反解出

$R = \frac{U_\text b}{I_\text{stall}} - R_\text s$

反电动势常数

我们知道 $U_\text{bemf} = K_\text e\omega$ ，其中 $\omega$ 是转速， $K_\text e$ 为反电动势常数，为了测定其值，我们测量出马达在127命令无负载运转电流 $I_\text{free}$ 和此时的转速 $\omega_\text{free}$ （单位不论，但是需要保持统一），由

$U_\text b - I(t)(R+R_\text s) - U_\text L - U_\text {bemf} = 0$

此时 $U_\text L = 0, I(t) = I_\text{free}$ ，解得

$U_\text{bemf} = U_\text b - I_\text{free}(R + R_\text s)$

那么

$\begin{aligned} K_\text e &= \frac{U_\text b - I_\text{free}(R + R_\text s)}{\omega_\text{free}} \\ &= \left(1 - \frac{I_\text{free}}{I_\text{stall}}\right)\frac{U_\text b}{\omega_\text{free}} \end{aligned}$