数学课划水整活之Wallis乘积公式的一种证明
今天数学课讲了一点组合数的性质,因为太简单了所以稍微划了一会水。
结果发现自己整出来了一个算的式子?
化简以后发现是传说中的Wallis公式?
虽然原理一样的证明Wiki上有提到但是还是当场惊了。
简单记一笔吧。
一切的开端是今年寒假做夏校申请的时候证明过的一个极限
当时是用斯特林近似暴力代换进行证明(现在看来并不严谨) 今天划水的时候发现由以上过程,这个极限可以加强为 稍作整理即得 拿卡西欧摁了一下,发现式子没有假,虽然收敛得有亿点点慢但确实是收敛到了。关键是这个式子我似乎没见过啊?内心直接膨胀,可把我牛逼坏了。
因为形式看起来较复杂,接着我就想可不可以通过邻项作比的方式变换一下形态
这个形式似曾相识,结合上式把式子化为连乘积的形式,要素察觉! 这不就是Wallis乘积公式嘛?翻出Wikipedia一看: 完全一致,直接得证。哇,也就是说我划着水就把Wallis公式不严谨地整了一遍?
果然还是要膨胀.jpg
以前觉得这个式子很高端的,现在有种莫名的幻灭感。
但是写到这的时候多看了一眼,发现斯特林逼近的一个推导里用到了Wallis公式?
突然有点不确定这算不算是循环论证了。