红茶用量（乱算）

Posted on 2019-12-12 Views:

只有红茶可以吗？ ——XXXX

起源

冬天果然还是热水泡红茶比较舒服啊。

但是就算是保温杯里面的茶也会很快冷下来，每次下课都要加热水。

那么问题来了

我应该喝多少茶，使得每次倒完热水之后的水温都是恒定的呢？

这种果然还是应该建个模啊~

假设

为了探究这个问题，我们不妨做以下假设：

将水看做一个整体，不考虑内部对流以及温度差异。
冷热水的热交换瞬间完成。
热水冷却的过程符合牛顿冷却定律。
我以恒定的速率喝茶~~是不可能的（悲）~~。

计算

不妨假设环境温度为 T_a 。牛顿冷却定律告诉我们

$\dot{Q}=-k(T-T_a)$

我们又知道：

$\dot{Q}=cm\dot{T}$

假设加完水时质量为

，喝水速度为

，则组合以上式子可以得到：

$\dot{T}=-\frac{k}{c(m_0 - vt)}(T-T_a)$

不妨设

，直接分：

$\begin{aligned} \frac{\dot{T'}}{T'} &= -\frac{k}{c(m_0-vt)} \\ \Rightarrow \int \frac{\dot{T'}}{T'} \mathrm{d}t &= \int-\frac{k\mathrm{d}t}{c(m_0-vt)} \\ \Rightarrow \ln T'&= \frac{k}{cv}\ln(m_0 - vt) + C_1 \\ \Rightarrow T' &= C_2(m_0-vt)^{k\over cv} \\ \Rightarrow T &= T_a + C_2(m_0-vt)^{k\over cv} \end{aligned}$

假设加完水

时

。则求解得

$\begin{aligned} T_0&=T_a + C_2m_0^{\frac{k}{cv}}\\ \Rightarrow C_2 &= (T_0-T_a)m_0^{-\frac{k}{cv}}\\ \Rightarrow T&=T_a+\left(\frac{m_0-vt}{m_0}\right)^{\frac{k}{cv}}(T_0-T_a) \end{aligned}$